注册的公司有一个核名下来，也可以重新核名，属于企业名称的变更。

根据《企业名称登记管理实施办法》:

第二十六条企业变更名称，应当向登记机关申请变更登记。企业向登记主管机关申请变更名称的，登记主管机关应当直接办理变更登记。企业变更名称的申请不受登记主管机关管辖的，依照本办法第二十七条的规定办理。

企业应当自核准变更名称登记之日起30日内，为分支机构申请变更名称登记。

第三十条企业注销登记或者吊销营业执照，经其他工商行政管理机关核准名称的，登记主管机关应当将核准注销登记的情形或者行政处罚决定书报核准企业名称的工商行政管理部门备案。

附加信息:

有下列情形之一的，不予核准企业名称:

1. 与经同一工商行政管理机关核准或者登记注册的同行业企业名称相同，但有投资关系的除外;

2. 与本办法第十八条规定由同一工商行政管理部门核准登记的企业名称、企业编号相同，但投资关系除外;

3.与变更名称未满1年的其他企业的原名称相同;

4. 与被注销登记或者被吊销营业执照未满3年的企业名称相同;

(五)违反法律、行政法规的其他行为。

百度百科全书-企业名称登记管理实施措施

公司在注册核子名称时，可以重新命名核子名称

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可以重命名而不取消。根据《企业名称登记管理实施办法》第二十六条:

企业应当向登记机关申请变更登记。

登记机关受理变更申请的企业名称，由登记机关直接办理。

企业申请变更名称，不受登记机关管辖，依照本办法第二十七条的规定办理。

企业应当自名称变更获得批准之日起30日内，申请分支机构名称变更登记。

注销后重新登记可以使用同一法人。

扩展

有下列情形之一的，未获批准:

(一)经同一工商机构批准或者在同一行业注册的同一企业，但有投资关系的企业除外;

(二)经同一工商行政管理部门批准或者依照本办法第十八条规定登记注册的具有投资关系的企业名称，但不包括在内;

(三)变更企业名称未满一年的，与原企业名称保持一致;

(四)与被吊销登记或者营业执照未满三年的企业名称相同的;

(五)违反法律、行政法规的其他行为。

参考

百度百科全书-企业名称注册管理实现方法

第二家公司的名称可以迅速给出名称未获批准的原因。